समीकरणांची प्रणाली सोडविण्याची क्षमता केवळ शाळेतच नव्हे तर सरावदेखील उपयुक्त ठरू शकते. त्याच वेळी, प्रत्येक पीसी वापरकर्त्याला माहित नाही की एक्सेलमध्ये रेषीय समीकरणांसाठी स्वत: चे उपाय आहेत. हे कार्य विविध मार्गांनी पूर्ण करण्यासाठी या टॅब्यूलर प्रोसेसर टूलकिटचा वापर कसा करावा हे शोधूया.
उपाय
कोणतीही मुळे जेव्हा मूळ सापडतात तेव्हाच सोडले जाऊ शकते. एक्सेलमध्ये मुळे शोधण्यासाठी अनेक पर्याय आहेत. चला त्या प्रत्येकास पहा.
पद्धत 1: मॅट्रिक्स पद्धत
एक्सेल साधनांसह रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडविण्याचा सर्वात सामान्य मार्ग म्हणजे मॅट्रिक्स पद्धत वापरणे. यात अभिव्यक्तीच्या गुणांकांकडून एक मॅट्रिक्स तयार करणे आणि नंतर व्यस्त व्यंजनात तयार करणे समाविष्ट आहे. समीकरणांची खालील प्रणाली सोडवण्यासाठी या पद्धतीचा वापर करण्याचा प्रयत्न करूया.
14एक्स 1+2x2+8एक्स 4=218
7एक्स 1-3x2+5x3+12एक्स 4=213
5एक्स 1+x2-2x3+4एक्स 4=83
6एक्स 1+2x2+x3-3एक्स 4=21
- आम्ही मॅट्रिक्सस समीकरणासह गुणोत्तरांसह भरतो. हे अंक प्रत्येक रूटच्या स्थानाचा संदर्भ घेताना क्रमाने क्रमाने व्यवस्थित मांडले पाहिजेत. जर एखाद्या अभिव्यक्तीमध्ये मुळांपैकी एक गहाळ आहे, तर या प्रकरणात गुणांक शून्य समकक्ष मानला जातो. गुणोत्तर समीकरणात दर्शविले नसल्यास, परंतु संबंधित मूळ उपस्थित आहे, असे मानले जाते की गुणांक समान आहे 1. परिणामी सारणीस वेक्टर म्हणून घोषित करा अ.
- स्वतंत्रपणे, आम्ही समान चिन्हानंतर मूल्ये लिहितो. त्यांना वेक्टर म्हणून सामान्य नावाने नाव द्या बी.
- आता समीकरणाची मुळे शोधण्यासाठी सर्वप्रथम आपल्याला अस्तित्वातील विरूद्ध, मॅट्रिक्स शोधण्याची गरज आहे. सुदैवाने, एक्सेलमध्ये एक विशेष ऑपरेटर आहे जो या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी डिझाइन केलेले आहे. ते म्हणतात MOBR. यात एकदम सोपा वाक्यविन्यास आहे:
= एमबीआर (अॅरे)वितर्क "अॅरे" - हे खरं तर, स्त्रोत सारणीचा पत्ता आहे.
म्हणून, आपण शीटवर रिक्त सेल्सचा एक भाग निवडतो, जो मूळ मॅट्रिक्सच्या श्रेणीच्या आकारासारखा आहे. बटणावर क्लिक करा "कार्य घाला"सूत्र पट्टी जवळ स्थित.
- चालत आहे फंक्शन मास्टर्स. श्रेणीवर जा "गणितीय". यादीत आम्ही नाव शोधत आहोत "MOBR". सापडल्यानंतर, ते निवडा आणि बटणावर क्लिक करा. "ओके".
- फंक्शन वितर्क विंडो प्रारंभ होते. MOBR. वितर्कांच्या संख्येद्वारे त्याचे फक्त एक क्षेत्र आहे - "अॅरे". येथे आपण आमच्या सारणीचा पत्ता निर्दिष्ट करणे आवश्यक आहे. या हेतूंसाठी, या क्षेत्रात कर्सर सेट करा. मग डावे माऊस बटण दाबून ठेवा आणि मॅट्रिक्स स्थित असलेल्या शीटवरील क्षेत्र निवडा. आपण पाहू शकता की, स्थानाच्या निर्देशांकवरील डेटा स्वयंचलितपणे विंडोच्या फील्डमध्ये प्रविष्ट केला जातो. हे कार्य पूर्ण झाल्यावर, बटण क्लिक करणे सर्वात स्पष्ट आहे. "ओके"पण झुडूप नका. वस्तुस्थिती म्हणजे हे बटण क्लिक करणे ही आज्ञा वापरण्यासारखेच आहे प्रविष्ट करा. परंतु सूत्राचे इनपुट पूर्ण केल्यानंतर अॅरेसह कार्य करताना, बटण क्लिक करू नका. प्रविष्ट कराआणि शॉर्ट कट की संच तयार करतात Ctrl + Shift + एंटर करा. हे ऑपरेशन करा.
- तर, यानंतर, प्रोग्राम गणना मोजते आणि पूर्व-निवडलेले क्षेत्रातील आउटपुटमध्ये आपल्याकडे मॅट्रिक्सची उलटी आहे.
- आता आपल्याला मॅट्रिक्सद्वारे व्यस्त मॅट्रिक्स गुणाकार करणे आवश्यक आहे. बीज्यात चिन्हानंतर स्थित मूल्यांचे एक स्तंभ समाविष्ट असते समतुल्य अभिव्यक्तीमध्ये एक्सेल मधील सारण्यांच्या गुणाकारांसाठी देखील एक वेगळे कार्य आहे, ज्यास म्हटले जाते मम्मी. या विधानात पुढील वाक्यरचना आहे:
= गंमत (अॅरे 1; अॅरे 2)आमच्या बाबतीत चार कक्षांचा समावेश असलेली श्रेणी निवडा. मग पुन्हा चालवा फंक्शन विझार्डचिन्हावर क्लिक करून "कार्य घाला".
- श्रेणीमध्ये "गणितीय"चालू आहे फंक्शन मास्टर्सनाव निवडा "मुनोझ" आणि बटणावर क्लिक करा "ओके".
- फंक्शन वितर्क विंडो सक्रिय आहे. मम्मी. क्षेत्रात "Massive1" आमच्या व्यस्त मॅट्रिक्सचे निर्देशांक प्रविष्ट करा. हे करण्यासाठी, शेवटच्या वेळी, कर्सर फील्डमध्ये सेट करा आणि डावे माउस बटण दाबून ठेवल्यास, कर्सरसह संबंधित सारणी निवडा. क्षेत्रातील समन्वयक बनविण्यासाठीही अशीच एक कृती केली जाते "मासिव 2", केवळ यावेळी आम्ही स्तंभ मूल्ये निवडतो. बी. वरील कृती केल्या नंतर, पुन्हा बटण दाबण्यासाठी आम्ही लवकर नाही "ओके" किंवा की प्रविष्ट करा, आणि कळ संयोजन टाइप करा Ctrl + Shift + एंटर करा.
- या क्रियेनंतर, समीकरणांची मुळे पूर्वी निवडलेल्या सेलमध्ये दिसतात: एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3 आणि एक्स 4. ते मालिका मध्ये व्यवस्था केली जाईल. अशा प्रकारे आपण असे म्हणू शकतो की आम्ही ही प्रणाली सोडविली आहे. समाधानाची शुद्धता सत्यापित करण्यासाठी, दिलेल्या उत्तरांच्या ऐवजी मूळ अभिव्यक्ती सिस्टीममध्ये दिलेला उत्तर बदलणे पुरेसे आहे. जर समानता राखली गेली तर याचा अर्थ समीकरणांची सादर केलेली प्रणाली योग्यरित्या सोडविली जाईल.
पाठः एक्सेल रिव्हर्स मॅट्रिक्स
पद्धत 2: पॅरामीटर्सची निवड
एक्सेल मधील समीकरणांची प्रणाली निराकरण करण्यासाठी दुसरी ज्ञात पद्धत म्हणजे पॅरामीटर निवड पद्धत वापरणे. या पद्धतीचा सारांश उलट शोधण्याचा आहे. ज्ञात परिणामांवर आधारित, आम्ही अज्ञात वितर्क शोधतो. उदाहरणासाठी चतुर्भुज समीकरण वापरु.
3x ^ 2 + 4x-132 = 0
- मूल्य स्वीकारा एक्स समान 0. त्याच्या संबंधित मूल्याची गणना करा एफ (एक्स)खालील सूत्र लागू करून:
= 3 * x ^ 2 + 4 * x-132मूल्याऐवजी "एक्स" नंबर स्थित असलेल्या सेलचा पत्ता बदला 0आमच्यासाठी घेतले एक्स.
- टॅब वर जा "डेटा". आम्ही बटण दाबा "विश्लेषण" तर काय. हे बटण रिबनवर टूलबॉक्समध्ये ठेवले आहे. "डेटासह कार्य करणे". एक ड्रॉपडाउन यादी उघडते. त्यात एक स्थान निवडा "पॅरामीटर निवड ...".
- पॅरामीटर निवड विंडो सुरू होते. जसे आपण पाहू शकता, त्यामध्ये तीन फील्ड असतात. क्षेत्रात "सेलमध्ये स्थापित करा" सूत्र कोठे आहे ते सेलचा पत्ता निर्दिष्ट करा एफ (एक्स)आम्हाला थोड्या पूर्वी मोजले. क्षेत्रात "मूल्य" क्रमांक प्रविष्ट करा "0". क्षेत्रात "बदलण्याचे मूल्य" मूल्य स्थित असलेल्या सेलचा पत्ता निर्दिष्ट करा एक्सपूर्वी आमच्यासाठी स्वीकारले 0. ही क्रिया केल्यानंतर, बटणावर क्लिक करा "ओके".
- त्यानंतर, एक्सेल पॅरामीटर्स सिलेक्शन वापरून गणना करेल. हे प्रकट केलेली माहिती विंडो सूचित करेल. हे बटण क्लिक करावे "ओके".
- समीकरणाच्या मुळाची गणना करण्याच्या परिणामात आम्ही फील्डमध्ये दिलेली सेल असेल "बदलण्याचे मूल्य". आमच्या बाबतीत, आम्ही पाहू एक्स समान असेल 6.
हे मूल्य मूल्य मूल्याऐवजी हलवलेल्या अभिव्यक्तीमध्ये प्रतिलिपी करून देखील तपासले जाऊ शकते एक्स.
पाठः एक्सेल पॅरामीटर्स निवड
पद्धत 3: क्रॅमर पद्धत
आता आपण क्रॅमर पद्धतीद्वारे समीकरणांची प्रणाली सोडवण्याचा प्रयत्न करू. उदाहरणार्थ, वापरल्या जाणार्या सारख्याच प्रणालीचा वापर करूया पद्धत 1:
14एक्स 1+2x2+8एक्स 4=218
7एक्स 1-3x2+5x3+12एक्स 4=213
5एक्स 1+x2-2x3+4एक्स 4=83
6एक्स 1+2x2+x3-3एक्स 4=21
- पहिल्या पद्धती प्रमाणे आपण मॅट्रिक्स बनवितो अ समीकरण आणि टेबल च्या गुणांक पासून बी चिन्हाचे अनुसरण करणारे मूल्य समतुल्य.
- पुढे आपण आणखी चार टेबल्स करू. त्यापैकी प्रत्येक मॅट्रिक्सची एक प्रत आहे. अ, केवळ या प्रतींमध्ये एकाच स्तंभात एक स्तंभ बदलला आहे बी. पहिल्या टेबलामध्ये हे पहिले स्तंभ आहे, दुसऱ्या मजल्यामध्ये ते दुसरे आहे, इत्यादी.
- आता आपल्याला या सर्व टेबल्ससाठी निर्धारकांची गणना करण्याची आवश्यकता आहे. समीकरणांच्या सिस्टीममध्ये फक्त निराकरण असतील तर सर्व निर्धारकांकडे शून्यपेक्षा इतर मूल्य असेल. एक्सेलमध्ये या व्हॅल्यूची गणना करण्यासाठी पुन्हा एक वेगळा फंक्शन आहे. मेप्रेड. या विधानाची मांडणी खालील प्रमाणे आहे:
= MEPRED (अॅरे)अशा प्रकारे, फंक्शन प्रमाणे MOBR, एकमात्र युक्तिवाद म्हणजे संसाधनावर प्रक्रिया केल्या जाणार्या संदर्भाचा संदर्भ आहे.
म्हणून, सेल निवडा ज्यामध्ये प्रथम मॅट्रिक्सचा निर्धारक प्रदर्शित होईल. नंतर मागील पद्धतींवरील परिचित बटणावर क्लिक करा. "कार्य घाला".
- सक्रिय विंडो फंक्शन मास्टर्स. श्रेणीवर जा "गणितीय" आणि ऑपरेटरच्या यादीत, तेथे नाव निवडा MOPRED. त्यानंतर, बटणावर क्लिक करा "ओके".
- फंक्शन वितर्क विंडो प्रारंभ होते. मेप्रेड. जसे आपण पाहू शकता, त्यामध्ये फक्त एक फील्ड आहे - "अॅरे". या क्षेत्रात प्रथम रूपांतरित मॅट्रिक्सचा पत्ता प्रविष्ट करा. हे करण्यासाठी, कर्सर फील्डमध्ये सेट करा आणि नंतर मॅट्रिक्स श्रेणी निवडा. त्यानंतर, बटणावर क्लिक करा "ओके". हे फंक्शन नमुना ऐवजी एका सेलमध्ये प्रदर्शित करते, म्हणून गणना मिळविण्यासाठी, आपल्याला कळ संयोजन दाबून घेण्याची आवश्यकता नाही. Ctrl + Shift + एंटर करा.
- फंक्शन परिणामांची गणना करते आणि ते प्री-सिलेक्ट केलेल्या सेलमध्ये प्रदर्शित करते. जसे आपण पाहतो, आपल्या बाबतीत, निर्धारक असतो -740म्हणजेच जे शून्य आहे त्याच्या बरोबर नाही.
- त्याचप्रमाणे, आम्ही इतर तीन सारण्यांसाठी निर्धारकांची गणना करतो.
- अंतिम टप्प्यावर, आम्ही प्राथमिक मॅट्रिक्सच्या निर्धारकांची गणना करतो. प्रक्रिया सर्व समान अल्गोरिदम आहे. जसे आपण पाहतो, प्राथमिक सारणीचा निर्धारक देखील nonzero आहे, याचा अर्थ असा आहे की मॅट्रिक्स nondegenerate मानले जाते, म्हणजे समीकरणांच्या प्रणालीमध्ये उपाय आहेत.
- आता समीकरणांची मुळे शोधण्याची वेळ आली आहे. समीकरणाचा मूळ, संबंधित सारणीच्या मॅट्रिक्सच्या निपुणतेच्या प्रमाणापैकी समान असेल आणि प्राथमिक सारणीच्या निर्धारकांकडे असेल. अशाप्रकारे, क्रमांकानुसार रूपांतरित केलेल्या मेट्रिसिसच्या सर्व चार निर्णायकांना विभाजित करणे -148जे मूळ टेबलचे निर्णायक आहे, आपल्याला चार मुळे मिळतात. जसे आपण पाहू शकता, ते मूल्ये समान आहेत 5, 14, 8 आणि 15. म्हणूनच, ते व्यस्त मूलद्रव्यांचा वापर करून सापडलेल्या मुळांसारखेच आहेत पद्धत 1हे समीकरणांच्या प्रणालीच्या समाधानाची शुद्धता सिद्ध करते.
पद्धत 4: गॉस पद्धत
गॉस पद्धत लागू करून समीकरणांची प्रणाली देखील सोडविली जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, तीन अज्ञातांकडून समीकरणांची एक सोपी प्रणाली घेऊया:
14एक्स 1+2x2+8x3=110
7एक्स 1-3x2+5x3=32
5एक्स 1+x2-2x3=17
- पुन्हा आम्ही टेबलमध्ये गुणांक लिहितो. अआणि स्वाक्षरीनंतर मुक्त सदस्य समतुल्य टेबलवर बी. परंतु यावेळी आपण दोन टेबले एकत्र आणू, कारण आपल्याला यापुढे कार्य करण्यासाठी आवश्यकता असेल. एक महत्त्वाची अट म्हणजे मॅट्रिक्सच्या पहिल्या सेलमध्ये अ मूल्य शून्य होते. अन्यथा, रेषा पुन्हा व्यवस्थित करा.
- दोन कनेक्ट केलेल्या मेट्रिसिसची प्रथम पंक्ति खालील ओळमध्ये कॉपी करा (स्पष्टतेसाठी, आपण एक पंक्ती वगळू शकता). पहिल्या सेलमध्ये, मागील एका पेक्षा कमी असलेल्या ओळीत स्थित आहे, खालील सूत्र प्रविष्ट करा:
= बी 8: ई 8- $ बी $ 7: $ ई $ 7 * (बी 8 / $ बी $ 7)जर आपण मॅट्रिक्स वेगळ्या पद्धतीने मांडल्या असतील तर सूत्रांच्या सेल्सचे पत्ते वेगळे अर्थ असतील, परंतु आपण येथे दिलेल्या सूत्र आणि प्रतिमांशी तुलना करून त्यांची गणना करू शकता.
सूत्र प्रविष्ट केल्यानंतर, सेलची संपूर्ण पंक्ती निवडा आणि की संयोजन दाबा Ctrl + Shift + एंटर करा. अॅरे फॉर्म्युला रो वर लागू केला जाईल आणि ते मूल्यांसह भरल्या जातील. अशाप्रकारे, आम्ही सिस्टमच्या पहिल्या दोन अभिव्यक्तींच्या प्रथम गुणोत्तरांच्या प्रमाणाने प्रथम गुणोत्तरांच्या दुसर्या ओळीतून घट केली.
- त्यानंतर, परिणामी स्ट्रिंग कॉपी करा आणि त्यास खालील ओळीत पेस्ट करा.
- गहाळ रेषानंतर पहिल्या दोन ओळी निवडा. आम्ही बटण दाबा "कॉपी करा"जे टॅबमधील रिबनवर स्थित आहे "घर".
- आम्ही शीटवरील शेवटच्या एंट्री नंतर लाइन वगळू. पुढील ओळीतील पहिला सेल निवडा. उजवे माऊस बटण क्लिक करा. उघडलेल्या संदर्भ मेनूमध्ये, कर्सर आयटमवर हलवा "पेस्ट स्पेशल". चालू असलेल्या अतिरिक्त सूचीमध्ये, स्थिती निवडा "मूल्ये".
- पुढच्या ओळीमध्ये अॅरे सूत्र प्रविष्ट करा. हे मागील डेटा ग्रुपच्या तिसऱ्या पंक्तीपासून घटते आणि दुसर्या पंक्तीने तृतीय आणि द्वितीय पंक्तीच्या दुसर्या गुणांकच्या प्रमाणाने गुणाकार केला. आमच्या बाबतीत, सूत्र खालीलप्रमाणे असेल:
= बी 13: ई 13- $ बी $ 12: $ ई $ 12 * (सी 13 / $ सी $ 12)सूत्र प्रविष्ट केल्यानंतर, संपूर्ण मालिका निवडा आणि शॉर्टकट की वापरा Ctrl + Shift + एंटर करा.
- गॉस पद्धत प्रमाणे उलट चालवणे आवश्यक आहे. शेवटच्या एंट्रीमधून तीन ओळी वगळा. चौथ्या ओळीत अॅरे सूत्र प्रविष्ट करा:
= बी 17: ई 17 / डी 17अशाप्रकारे, आम्ही आपल्याद्वारे गणना केलेल्या अंतिम पंक्तीला त्याच्या तिसर्या गुणांकमध्ये विभागतो. सूत्र टाइप केल्यानंतर, संपूर्ण ओळ निवडा आणि की संयोजन दाबा Ctrl + Shift + एंटर करा.
- आम्ही ओळ तयार करतो आणि खालील अॅरे फॉर्म्युलामध्ये त्यात प्रवेश करतो:
= (बी 16: ई 16-बी 21: ई 21 * डी 16) / सी 16अॅरे सूत्र वापरण्यासाठी आम्ही कीजचे नेहमीचे संयोजन दाबा.
- आम्ही वर एक अजून ओळ वाढवितो. त्यामध्ये आपण खालील फॉर्मचा अॅरे फॉर्म्युला प्रविष्ट करतोः
= (बी 15: ई15-बी 20: ई 20 * सी 15-बी 21: ई21 * डी 15) / बी 15पुन्हा, संपूर्ण ओळ निवडा आणि शॉर्टकट वापरा Ctrl + Shift + एंटर करा.
- आता आपण शेवटच्या ब्लॉकच्या शेवटच्या स्तंभातील अंकांकडे पाहत आहोत, ज्याची पूर्वी गणना केली गेली आहे. हे हे आकडे आहेत (4, 7 आणि 5) समीकरणांच्या या प्रणालीचे मूळ असेल. आपण हे मूल्यांकडे बदलून हे तपासू शकता. एक्स 1, एक्स 2 आणि एक्स 3 अभिव्यक्तीमध्ये
जसे आपण पाहू शकता, एक्सेलमध्ये, समीकरणांची प्रणाली बर्याच मार्गांनी सोडविली जाऊ शकते, त्या प्रत्येकामध्ये त्याचे स्वतःचे फायदे आणि तोटे आहेत. परंतु ही सर्व पद्धती दोन मोठ्या गटांमध्ये विभागली जाऊ शकतात: मॅट्रिक्स आणि पॅरामीटर्स सिलेक्शन टूल वापरुन. काही प्रकरणांमध्ये, समस्येचे निराकरण करण्यासाठी मेट्रिक्स पद्धती नेहमीच योग्य नसतात. विशेषतः, जेव्हा मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्य असतो. इतर प्रकरणांमध्ये, वापरकर्त्यास स्वत: साठी कोणता पर्याय अधिक सोयीस्कर वाटते हे ठरविण्यासाठी ते मोकळे आहे.
